20. března americko-kanadský matematik Robert Langlands obdržel Abelovu cenu, oslavující celoživotní úspěchy v matematice. Langlandsův výzkum ukázal, jak by mohly být koncepty z geometrie, algebry a analýzy spojeny společným odkazem na prvočísla.
Když norský král předá cenu Langlandovi v květnu, bude ctít poslední ve 2 300letém úsilí porozumět prvočíslům, pravděpodobně největším a nejstarším souborům matematiky. Jako matematik věnovaný tomuto „Langlandskému programu“ mě fascinuje historie prvočísel a to, jak nedávné pokroky škádlí jejich tajemství. Proč uchvátili matematiky po tisíciletí?
Abychom mohli studovat prvočísla, matematici namáhají celá čísla skrze jednu virtuální síť za druhou, dokud nezůstanou jen prvočísla. Tento proces prosévání vytvořil tabulky 18 000 prvočísel v 1800s. To umožňuje dnešním počítačům najít miliardy prvočísel za méně než sekundu. Ale hlavní myšlenka síta se za více než 2000 let nezměnila.
"Prvočíslo je to, které se měří samotnou jednotkou, " napsal matematik Euclid v roce 300 př. Nl. To znamená, že prvočísla nelze rovnoměrně rozdělit menším počtem kromě 1. Podle konvence matematici nepočítají 1 jako sebe prvočíslo. Euclid dokázal nekonečnost prvočísel - pokračují navždy - ale historie naznačuje, že právě Eratosthenes nám dal síto, abychom rychle vyjmenovali prvočísla.
Tady je myšlenka na síto. Nejprve odfiltrujte násobky 2, pak 3, poté 5, poté 7 - první čtyři prvočísla. Pokud tak učiníte u všech čísel od 2 do 100, zůstanou pouze prvočísla.
Sítové násobky 2, 3, 5 a 7 ponechávají pouze prvočísla mezi 1 a 100. (se svolením MH Weissman) S osmi filtračními kroky je možné izolovat připravovací prostředky až do 400. Se 168 filtračními kroky je možné izolovat připravovací prostředky až do 1 milionu. To je síla Eratosthenesova síta.
**********
Raná postava v tabulkových prvočíslech je anglický matematik John Pell, který se věnoval vytváření tabulek užitečných čísel. Byl motivován k řešení starověkých aritmetických problémů Diophantosu, ale také osobní snahou organizovat matematické pravdy. Počátkem 17. století byl díky jeho snahám široce distribuován prvočísla do 100 000. Do roku 1800 byly nezávislé projekty sestaveny do výše 1 milionu.
Pro automatizaci zdlouhavých prosévacích kroků použil německý matematik Carl Friedrich Hindenburg nastavitelné posuvníky k potlačení násobků na celé stránce tabulky najednou. Jiný low-tech ale efektivní přístup používal šablony k lokalizaci násobky. Do poloviny 18. století se matematik Jakob Kulik pustil do ambiciózního projektu, ve kterém našel všechny prvočísla až do 100 milionů.
Šablona používaná Kulikem k prosazení násobků 37. AÖAW, Nachlass Kulik (Obrázek s laskavým svolením Denise Roegela, autor poskytl) Tato „velká data“ z 19. století mohla sloužit pouze jako referenční tabulka, pokud se Carl Friedrich Gauss nerozhodl analyzovat prvočísla pro sebe. Vyzbrojený seznamem prvočísel až do 3 milionů, začal je Gauss počítat, jednu „chiliadu“ nebo skupinu 1 000 jednotek najednou. Počítal prvočísla až 1 000, potom prvočísla mezi 1 000 a 2 000, poté mezi 2 000 a 3 000 atd.
Gauss zjistil, že jak počítal výše, tak se prvočísla podle zákona „inverzní log“ postupně zmenšují. Gaussův zákon neukazuje přesně, kolik prvočísel existuje, ale dává docela dobrý odhad. Například jeho zákon předpovídá 72 prvočísel mezi 1 000 000 a 1 000 000. Správný počet je 75 prvočísel, asi 4 procentní chyba.
Století po Gaussových prvních průzkumech byl jeho zákon prokázán v „věta o prvočíslech“. Procento chyby se blíží nule při větším a větším rozsahu prvočísel. Hypotéza Riemanna, dnes problém s cenou v milionech dolarů, také popisuje, jak přesný Gaussův odhad je.
Věta o prvočísle a Riemannova hypotéza přitahují pozornost a peníze, ale oba navázali na dřívější, méně okouzlující analýzu dat.
.....
Dnes naše datové soubory pocházejí spíše z počítačových programů než ručně řezaných šablon, ale matematici stále hledají nové vzory v prvočíslech.
S výjimkou 2 a 5, všechna prvočísla končí číslicí 1, 3, 7 nebo 9. V 1800s bylo prokázáno, že tyto poslední číslice jsou stejně časté. Jinými slovy, pokud se podíváte na prvočísla až do milionu, asi 25 procent končí v 1, 25 procent končí v 3, 25 procent končí v 7 a 25 procent končí v 9.
Před několika lety byli Stanfordovi teoretici čísel Lemke Oliver a Kannan Soundararajan uchváceni výstředníkem v konečných číslech prvočísel. Experiment se podíval na poslední číslici prvočísla, stejně jako na poslední číslici nejbližšího prvočísla. Například další nejvyšší po 23 je 29: Jeden uvidí 3 a poté 9 ve svých posledních číslicích. Vidí jeden z posledních číslic prvočísel 3, potom 9 častěji než 3, potom 7?
Frekvence posledních číslic, mezi po sobě jdoucími prvočísly až do 100 milionů. Odpovídající barvy odpovídají odpovídajícím mezerám. (MH Weissman, CC BY) Teoretici čísel očekávali určité variace, ale to, co zjistili, daleko předčilo očekávání. Primes jsou odděleny různými mezerami; například 23 je šest čísel od 29. Ale 3-pak-9 prvočísla jako 23 a 29 jsou mnohem běžnější než 7-pak-3 prvočísla, i když oba pocházejí ze mezery šesti.
Matematici brzy našli věrohodné vysvětlení. Ale pokud jde o studium následných prvočísel, matematici jsou (většinou) omezeni na analýzu dat a přesvědčování. Důkazy - zlatý standard matematiků pro vysvětlení, proč jsou věci pravdivé - se zdají být o desetiletí dál.
Tento článek byl původně publikován v The Conversation.
Martin H. Weissman, docent matematiky, University of California, Santa Cruz
