Pravděpodobně jste se v každodenním životě setkali s jednostrannými předměty stokrát - jako je univerzální symbol pro recyklaci, který je vytištěn na zadní straně hliníkových plechovek a plastových lahví.
Tento matematický objekt se nazývá Mobiusův pás. Fascinuje environmentalisty, umělce, inženýry, matematiky a mnoho dalších od svého objevu v roce 1858 německým matematikem Augustem Möbiem, který zemřel před 150 lety, 26. září 1868.
Möbius objevil jednostranný proužek v roce 1858 a působil jako předseda astronomie a vyšší mechaniky na univerzitě v Lipsku. (Jiný matematik jménem Listing to vlastně popsal před několika měsíci, ale svou práci nezveřejnil až do roku 1861.) Zdá se, že Möbius se setkal s Möbiovým proužkem při práci na geometrické teorii polyhedry, pevných postav složených ze vrcholů, hran a plochých ploch .
Pruh Möbius lze vytvořit odebráním proužku papíru, který mu dá lichý počet napůl zkroucení, pak klepnutím na konce zpět dohromady a vytvoří smyčku. Pokud vezmete tužku a nakreslíte čáru podél středu proužku, uvidíte, že čára zjevně vede podél obou stran smyčky.
Koncept jednostranných objektů inspirovaných umělci, jako je nizozemský grafik MC Escher, jehož dřevořezba „Möbius Strip II“ ukazuje červené mravence plazící se jeden po druhém podél pruhu Möbius.
Pás Möbius má více než jen jednu překvapivou vlastnost. Například zkuste vzít nůžky a stříhat pásek napůl podél linie, kterou jste právě nakreslili. Možná vás ohromí, když zjistíte, že vám nezůstanou dva menší jednostranné proužky Möbius, ale místo toho jedna dlouhá oboustranná smyčka. Pokud nemáte po ruce kus papíru, Escherova dřevořezba „Möbius Strip I“ ukazuje, co se stane, když se pás Möbius odřízne podél jeho středové linie.
Zatímco pás má určitě vizuální přitažlivost, jeho největší dopad byl v matematice, kde pomohl podnítit vývoj celého pole zvaného topologie.
Topolog zkoumá vlastnosti předmětů, které jsou zachovány, když se pohybují, ohýbají, natahují nebo kroucují, aniž by spolu narezaly nebo slepily části. Například zamotaný pár klapek na uši je v topologickém smyslu stejný jako neuzavřený pár klapek na uši, protože změna jednoho do druhého vyžaduje pouze pohyb, ohýbání a kroucení. K jejich přeměně není třeba řezání ani lepení.
Další dvojice předmětů, které jsou topologicky stejné, jsou šálek kávy a kobliha. Protože oba objekty mají jen jednu díru, jeden může být deformován do druhého pouhým natažením a ohnutím.
Hrnek se promění v koblihu. (Wikimedia Commons) Počet děr v předmětu je vlastnost, kterou lze změnit pouze řezáním nebo lepením. Tato vlastnost - nazývaná „rod“ objektu - nám umožňuje říci, že pár klapek na uši a kobliha se topologicky liší, protože kobliha má jednu díru, zatímco pár uší nemá žádné díry.
Naneštěstí se zdá, že Möbioův pás a oboustranná smyčka, jako typický náramek na povědomí o silikonu, mají jednu díru, takže tato vlastnost je nestačí k tomu, aby se od sebe oddělily - alespoň z pohledu topologa.
Místo toho se vlastnost, která odlišuje Möbiovy proužky od oboustranné smyčky, nazývá orientovatelnost. Stejně jako počet otvorů lze orientaci objektu změnit pouze řezáním nebo lepením.
Představte si, že si napíšete poznámku na průhledný povrch, a poté se projdete po tomto povrchu. Povrch je orientovatelný, pokud se po návratu z procházky vždy můžete přečíst poznámku. Na neorientovatelném povrchu se můžete z procházky vrátit, abyste zjistili, že slova, která jste napsali, se zjevně proměnila v jejich zrcadlový obraz a lze je číst pouze zprava doleva. Na oboustranné smyčce bude poznámka vždy číst zleva doprava, bez ohledu na to, kam vás cesta přivedla.
Protože Möbiov proužek je neorientovatelný, zatímco oboustranná smyčka je orientovatelná, to znamená, že Möbioův proužek a oboustranná smyčka jsou topologicky odlišné.
(Vytvořil David Gunderman) Po spuštění GIF jsou tečky uvedené ve směru hodinových ručiček černé, modré a červené. Můžeme však posunout konfiguraci se třemi tečkami kolem proužku Möbius tak, že obrázek je na stejném místě, ale barvy teček uvedených ve směru hodinových ručiček jsou nyní červené, modré a černé. Konfigurace se nějak proměnila ve vlastní zrcadlový obraz, ale vše, co jsme udělali, je pohybovat se po povrchu. Tato transformace je nemožná na orientovatelném povrchu, jako je oboustranná smyčka.
Koncept orientovatelnosti má důležité důsledky. Vezměte enantiomery. Tyto chemické sloučeniny mají stejnou chemickou strukturu s výjimkou jednoho rozdílu klíčů: Jsou to zrcadlové obrazy jeden druhého. Například chemický L-metamfetamin je složkou Vicks Vapor Inhalers. Jeho zrcadlový obraz, D-metamfetamin, je nelegální drogou třídy A. Pokud bychom žili v neorientovatelném světě, tyto chemikálie by byly nerozeznatelné.
Objev Augusta Möbiova otevřel nové způsoby studia přírodního světa. Studie topologie stále přináší ohromující výsledky. Například loni topologie vedla vědce k objevování podivných nových stavů hmoty. Letošní Fields Medal, nejvyšší vyznamenání v matematice, byl udělen Akshay Venkatesh, matematik, který pomáhal integrovat topologii s dalšími obory, jako je teorie čísel.
Tento článek byl původně publikován v The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. student aplikované matematiky na University of Colorado a Richard Gunderman, profesor medicíny, svobodných umění a filantropie, Indiana University
